わすれなぐさ

自称情報ブログ・備忘録

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重積分で物体の重心位置を求める方法を解説します。例として扇形や半円板の面積の求め方も記載します。

積分による重心位置の計算

物体の重心位置を求める公式は、全質量を \(m\) とすると次のようになります。

\[ x_G = \frac 1m \int x \ \mathrm dm \]
\(x_G\) は \(x\) 方向の重心位置なので、\(y\) 方向の重心位置 \(y_G\) も求める必要があります。ただし、物体の重心が \(x\) 軸上に存在するときは \(y_G = 0\) です。

総和による重心位置の計算

積分による重心計算を理解するために、一歩戻って総和による重心計算を振り返ってみます。

質量が分かっている複数の物体が結合した物の重心を求めるときには総和を使います。結合した物体の重心は、次の式のように各物体の質量 \(m_i\) に重心位置 \(x_i\) を掛けてから全質量 \(m\) で割ると求められます。

\[ x_G = \frac 1m \sum x_i m_i \]
この式で、結合している物体が微小な大きさで連続して結合していると考えたものが積分です。

積分の式の変形

\(\int x \ \mathrm dm\) のままでは計算できないので、計算できる形にします。

まず、物体は一様(密度 \(\rho\) が一定)であるとします。体積を \(V\) とすると \(\mathrm dm = \rho \ \mathrm dV\) なので \[ \begin{align} x_G &= \frac 1m \int x \ \mathrm dm \\ &= \frac{\rho}{m} \int x \ \mathrm dV \\ &= \frac 1V \int x \ \mathrm dV \\ &= \frac 1V \iiint x \ \mathrm dx \ \mathrm dy \ \mathrm dz \end{align} \]
と式を変形できます。これなら積分区間を決めて積分できそうです。

さらに、物体が厚さ(\(z\) 方向)を無視できる薄板だとすると、面積を \(S\) として \[ x_G = \frac 1S \int x \ \mathrm dS = \frac 1S \iint x \ \mathrm dx \ \mathrm dy \] となります。

例:三角形の重心位置を求める

ここで例として、\(y = x/2,\ y = -x/2,\ x = 1\) に囲まれた二等辺三角形の薄板の重心を考えてみます。三角形の重心なので、この図でいうと結果は \(2/3\) になるはずです。
math 1 2

積分区間は、\(y\) から先に積分するならば \(-x/2 < y < x/2,\ 0 < x < 1\) です。\(y\) から積分するので、積分の後ろの部分は \(\mathrm dy \ \mathrm dx\) になります。 \[ \begin{align} x_G &= \frac 1S \int_0^1 \int_{-x/2}^{x/2} x \ \mathrm dy \ \mathrm dx \\ &= \frac 1S \int_0^1 x [ y ]_{-x/2}^{x/2} \ \mathrm dx \\ &= \frac 1S \int_0^1 x^2 \ \mathrm dx \\ &= \frac 1S \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 \\ &= \frac 1S \frac 13 \\ \end{align} \]
ここで、三角形の面積は \(S = 1/2\) なので \[ x_G = \frac 2 3 \] となり、確かに三角形の重心位置が算出できました。

極座標で積分

半円板や扇形の重心を計算するときは、極座標に変換して重積分すると簡単です。

次の図を見ると、極座標では微小面積 \(\mathrm dS\) が \(\mathrm dr \times r \ \mathrm d\theta\) の四角形と見なせることが分かります。
math 1 3

また、\(x = r \cos \theta\) なので、極座標における重心位置の計算は次のように書けます。 \[ \begin{align} x_G &= \frac 1S \int x \ \mathrm dS \\ &= \frac 1S \iint ( r \cos \theta ) r \ \mathrm d\theta \ \mathrm dr \\ &= \frac 1S \iint r^2 \cos \theta \ \mathrm d\theta \ \mathrm dr \end{align} \]

例:扇形の重心位置を求める

半径 \(a\)、中心角 \(2 \phi\) の扇形の重心位置を求めます。
math 1 4

積分区間は、\(-\phi < \theta < \phi, \ 0 < r < a\)だから、重心位置は \[ \begin{align} x_G &= \frac 1S \int_0^a \int_{-\phi}^{\phi} r^2 \cos \theta \ \mathrm d\theta \ \mathrm dr \\ &= \frac 1S \int_0^a r^2 \ \mathrm dr \int_{-\phi}^{\phi} \cos \theta \ \mathrm d\theta \\ &= \frac 1S \left[ \frac{r^3}{3} \right]_0^a [ \sin \theta ]_{-\phi}^{\phi} \\ &= \frac 1S \frac{a^3}{3} 2 \sin \phi \end{align} \] となります。ここで、扇形の面積は \[ S = \pi a^2 \frac{2 \phi}{2 \pi} = a^2 \phi \] だから、扇形の重心位置は \[ x_G = \frac{2a \sin \phi}{3 \phi} \] です。

ちなみに半円板の重心位置は、\(\phi = \pi / 2\) を代入して \[ x_G = \frac{4a}{3 \pi} \] になります。

MathJaxを使うとウェブサイトで簡単に綺麗な数式を表示できます。ライブドアブログでも一応利用できるので、その使い方を紹介します。ただしご存知の通り、ライブドアブログはスマートフォン版表示のカスタマイズが厳しく制限されているため、少し対策を講ずる必要があります。

\[ \int \frac 1{\sqrt{a^2 - x^2}} \mathrm dx = \sin^{-1} \frac xa + C \]

準備

MathJaxはウェブページ内にJavaScriptを数行書いておくだけで利用可能になります。次の記述を<head>から</head>の間に追加します。
<script type="text/javascript" async
  src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.1/MathJax.js?config=TeX-AMS_CHTML">
</script>
ライブドアブログでは「ブログ設定」→「カスタムJS」で、head内に記述を追加できます。しかし、この設定はPC版表示のみに反映されるため、スマートフォンでは数式がうまく表示されません。そのため、次のいずれかの対策を行う必要があります。
  1. スマホからの訪問者にはPC版表示へ切り替えてもらうように促す。
  2. head内ではなく、個別記事のHTMLにスクリプトを追加する。
前者のほうがブログ管理者には楽ですが、読者に一手間掛けさせることになってしまいます。しかし後者も、記事が少ないうちはいいですが、記事の量が増えてくると管理が大変です。

どちらも一長一短のため、本格的に数式を使ったウェブサイトを作るならライブドアブログ以外を使ったほうがいいでしょう。

参考:

アニメ「リトルバスターズ!」21話以降に出てくるロシア語について少し書きました。原作はプレイしたことがないので、詳しくは知りません。

参考:
リトルバスターズ! 第21話「50ノーティカルマイルの空」 - だいちゃんの時間を見つけて書く日記(別館)
リトルバスターズ! 第22話「わたし、必ず戻ってきます」 - だいちゃんの時間を見つけて書く日記(別館)
リトルバスターズ! 第22話「わたし、必ず戻ってきます」 - だいちゃんの時間を見つけて書く日記(別館)
友情とは生き抜くことと見つけたり その1 by 生粋の日本人 - ニコニコ動画

第21話「50ノーティカルマイルの空」

ベルカとストレルカの意味
作中で、ストレルカ стрелка は「小さな矢」の意味だと説明されています。確かに、ストレルカは「矢」を意味するストレラ стрела に、指小辞の -ка をつけたものなので正しいです。

指小辞とは、単語に付けることで「小さい」や「可愛らしい」を表します。ロシア語の指小辞といえば「水 вода」に -ка を足して「ウォッカ водка」になる、というのが有名でしょうか。ロシア人にとってウォッカは「お水ちゃん」程度の存在だったのか!?と驚いてしまいますね。-ка 以外にもロシア語の指小辞はたくさんありますが、ここでは省略します。

一方のベルカ белка は「白」の意味らしいです。белка は直訳するとリスですが、犬の名前としては多分、ロシア語で白を意味するベールイ белый に指小辞 -ка を足したものだと思います。ベルカは原作では「ヴェルカ」と書かれていたようですが、белка = belka なので、日本語ではベルカのほうが近いです。

名前に反してストレルカは大きい犬で、ベルカは黒い犬なのですが、これについてクドは「ロシアでは反対の意味を付ける場合がある」と言っています。

ベルカもストレルカもクドリャフカも、ソ連のロケットで宇宙に行った犬の名前です。ベルカとストレルカは地球に生きて帰還した一方、クドリャフカは宇宙で死んでしまうのですが、アニメではこのことに触れられませんでした。死んでしまった犬の名前をクドに付けたのも、反対の意味を付けたり願い事で逆を言ったりする「ロシア風の考え」なのでしょうか?

クドリャフカの名前
クドリャフカ・アナトリエヴナ・ストルガツカヤ Кудрявка Анатолиевна Стругацкая

「アナトリエヴナ」の綴りは原作では「Анатолиевна」となっているが、ネット上では「Анатольевна」と書かれることもある。ロシア語的にはどちらが正しいのか少しだけ調べてみたところ、Анатольевна のほうが比較的正しいけどどちらでもいいという雰囲気だった。Анатолиевна でも間違いとは言えないので、ここは原作を尊重することにした。

ちなみに、能美クドリャフカの「能美」は、ロシア語で「新しい」の「ノーヴィ Новый」から来ているらしい。

クドリャフカの母親の名前
チェルヌシカ・イワノヴナ・ストルガツカヤ Чернушка Ивановна Стругацкия

コスモナーフト космонавт つまり宇宙飛行士です。チェルヌシカの名前は、黒を意味する「チョールヌイ чёрный」から来ていると思います。

参考:
Junk Head な奴ら リトルバスターズ! 考察 2 能美 クドリャフカ
めもぱれっ! 【アニメ】リトルバスターズ! 第21話 感想

第22話「わたし、必ず帰ってきます」

幸運のおまじない
ニ プーハ ニ ペラー Ни пуха, ни пера

クドが理樹に言ってほしいと頼んだおまじないで、「毛もなく、羽もなく」の意味です。猟師が狩りの成功を祈るとき、逆に「毛(獣)も羽(鳥)も獲れませんように」と祈ったことが由来です。ロシアでは直接幸運を祈ると不運になるというジンクスがあり、これを避けるために逆の言葉を言ったそうです。

参考:
「ни пуха, ни пера」の語源について
ни пуха ни пера — Викисловарь

別れの挨拶
プラシャーイチェ Прощайте

最後にクドが言った「さようなら」です。ちょうど英語の「Farewell」のように、もう会えないかもしれないときや、長い別れのときに使う「さようなら」です。

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