【2015/1/30更新】

日本語入力MODが最新バージョンなどに対応していなくても、次の外部ツールを使えば簡単に日本語入力することが出来ます
http://forum.minecraftuser.jp/viewtopic.php?t=4442
※外部ツールです。MODではないですがMODより導入が簡単で便利だと思います。

このツールはタイトルに示したバージョン以外でも使えます。
対応バージョンや動作環境などは上記のURL先に書かれています。

因みに、日本語化MODなどの対応状況は次のページで確認できます。
http://www26.atwiki.jp/minecraft/pages/934.html

おすすめの設定
【追記】内容が古いかもしれません。

初期設定のままではちょっと不都合がある(マイクラの方のチャットで「t」の字を打ち込むと日本語入力ツールが開く)ので、変えましょう。

ツールを起動して「設定」→「キー設定」
「MCJPISSを出すキー」を、英数字やよく使う記号以外のキーにします。
「無変換(IMENonconvert)」キーなんかがおすすめ。

「設定」→「システム設定」
コメント反映は速いほうが快適なので、速度の調整で速めておきましょう。

使い方
上に書いたようにすると以下のような使い分けができて便利です。

・日本語を打つとき → 「無変換」キー
・看板などに日本語を打つとき → 「\」キー
・コマンドや英語を打つとき → 「t」か「/」キー
・(英数字の途中から日本語を打つとき → 「\」キー)

因みに、ツール内で「↑」キーを押すと前のコメントをもう一度表示できます。

おまけ
バッチファイル(.bat)を作って、Minecraftと日本語入力ツールを一緒に起動させてみよう。
まずMinecraft.exeとMCJPISS2.exeの場所(パス)を調べます。
例として、マイクラがC:\Users\Owner\Desktopに、ツールがC:\Users\Owner\Downloads\MCJPISS2_6にあるとしましょう。
次にメモ帳を開いてこんなふうに書きます↓
cd "C:\Users\Owner\Desktop"
start Minecraft.exe
timeout 10 /nobreak
cd "C:\Users\Owner\Downloads\MCJPISS2_6"
start MCJPISS2.exe
exit
※1行目・4行目のパスは自分に合ったように変えてください。
※3行目は「10秒待つ」って意味です。なくても全然大丈夫。

書けたら、ファイル名を「~~.txt」ではなく「~~.bat」にして保存します。(~~の部分はなんでもいい)
完了!
マインクラフトを遊ぶときにはこのファイルをダブルクリックしよう。