【2019.01.24 追記】
いつからか分かりませんが、ゲームを右クリックすると「ゲームを移動する」という項目が表示されるようになっていました。ゲームを移動したい場合には、この機能を使っていただければOKです。詳しい手順や注意点については、次の公式ページをご覧ください。
ここから下は古いやり方の紹介になりますので、読まなくて大丈夫です。
【追記ここまで】


インストール済みのOriginゲームをSSDからHDDに移動したり、新しいPCに移動したりする方法を紹介します。ここで紹介する方法は、ゲームをダウンロードし直すことなく保存場所を移動するため、短時間で完了できます。

※もし、既存のゲームではなく今後インストールする新しいゲームの保存場所を変更したい場合は、以下の手順⑤⑥あたりを参考にしてOriginの「ゲームライブラリの保存先」の設定を変更してください。

ゲームを移動する手順

① 既存のゲームが保存されている場所を開きます。デフォルトでは「C:\Program Files (x86)\Origin Games」に保存されているはずです。

② 移動するゲームのフォルダを移動先にコピーします。例えば「Battlefield 4」フォルダを丸ごと「D:\Origin Games」内にコピーします。※念のためにコピーしていますが移動でも構いません。

③ コピーが完了したら、元あった方のフォルダの名前を適当に変更します。例えばフォルダ名を「Battlefield 4x」などにしておきます。

④ 続いて、Originを起動します。

⑤ 左上の「Origin」→「アプリケーション設定(A)」を開きます。
replace origin game folder 1

⑥ 「インストール & 保存」タブを開いて、「ゲームライブラリの保存先」の「フォルダを変更…」をクリックします。
replace origin game folder 3

⑦ 移動先のフォルダ(D:\Origin Games)を選択して「フォルダーの選択」をクリックします。これで保存先のディレクトリが変更されました。

⑧ 「ゲームライブラリ」を開いて、移動したゲームの「プレイ」をクリックします。しばらくするとインストールが始まり、数分で完了します。
replace origin game folder 4

⑨ 完了したら、実際にゲームがプレイできることを確認してください。問題なくプレイできることが確認できたら、元あった方のフォルダ(Battlefield 4x)は削除して構いません。

注意:今後のゲームの保存場所が変わります

今回の作業で「ゲームライブラリの保存先」を変更したため、今後、新しいゲームはその場所に保存されます。ご注意ください。

補足:新しいPCにゲームを移動した場合の注意点

新しいPCにこの方法でゲームを移動した場合、キー設定などが初期化されます。設定を前のPCと同じにするには、「ドキュメント」フォルダ内にあるゲームフォルダも新しいPCに移動してください。それに加えて、BF4のようなゲームではマルチプレイをするためにPunkBusterのインストールが必要なので、「Battlefield 4」フォルダ内の「pbsvc.exe」を実行してPunkBusterをインストールしてください。

参考

Origin - Backing up and restoring your Origin games
https://plus.google.com/+PPKKhome/posts/ArDt81w8nhY