【2015/9/5追記】
何やら最近のアップデートで変化があったようですかね。ChromeがNPAPIプラグインのサポートを終了した影響でしょう。ChromeでBFを起動しようとしたら下のようなダイアログが出てきました。

unsupported launch mode

いまいちよく分からないんですけど、とりあえず「Use plugin-free game launching (プラグインなしでゲームを起動する)」を切り替えてオンにしたら普通にプレイできるようになりました。

この設定はバトルログの「設定」からも切り替えられるようです。開くには、バトルログの右上のプレイヤーネームにマウスをホバーして、「設定」をクリックしてください。
参考 imgur.com/a/iur7S

参考 [INFO] Plugin Free Game Launching. Required in Chrome, supports IE, Edge & FF - Answer HQ
【追記おわり】

Google Chromeでバトルログのプラグインが上手くインストール出来ない・インストールに失敗するときは次の方法を試して下さい。

①URLの所にchrome://flags/#enable-npapiと入力。
②一番上のNPAPIを有効にする。←【追記】もう無くなりましたね
③Chromeを再起動する。

私はこれで解決しました。それでも駄目なら、次を試してみて下さい。
https://plus.google.com/+YosukeNakane/posts/fGHWcodHHvZ